ТЕМА : ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ
Выполнить задания на примере .
Линейное программирование
1. Линейное программирование это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Линейное программирование состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные.
2. Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:
максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);
систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;
требование неотрицательности переменных.
3.1.1. Пример на составление математической модели задачи линейного программирования
Пример 1
Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а для модели В 4 м2. Фирма может получать от своих поставщиков до 1700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин. машинного времени, а для изделия модели В 30 мин. В неделю можно использовать 160 часов машинного времени.
Сколько изделий каждой модели следует выпускать фирме в неделю для максимальной прибыли, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В 4 дол. прибыли?
Построение математической модели
Пусть x1 количество выпущенных за неделю полок модели А, а x2 количество выпущенных полок модели В. Тогда:
3x1 количество досок, требуемых на неделю для изготовления полок модели А;
4x2 количество досок, требуемых на неделю для изготовления полок модели В;
3x1+4x2 количество досок, требуемых на неделю для изготовления книжных полок двух моделей, а по условию задачи это число не должно превышать 1700 м2, следовательно, получаем первое ограничение:
3x1+4x2 1700 (1)
Найдем ограничение на использование машинного времени.
12 мин. составляют 0,2 часа, а 30 мин. 0,5 часа, таким образом:
0,2x1 количество времени, требуемое на неделю для обработки полок модели А;
0,5x2 количество времени, требуемое на неделю для обработки полок модели В;
0,2x1+0,5x2 количество времени, требуемое на неделю для обработки двух моделей, а по условию задачи это число не должно превышать 160 часов, следовательно, получаем второе ограничение:
0,2x1+0,5x2 160 или 2x1+5x2 1600 (2)
Кроме того, поскольку x1 и x2 выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательными, то есть:
x1 0, x2 0 (3)
Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения x1 и x2, при которых еженедельная прибыль будет максимальной. Составим выражение для еженедельной прибыли:
2x1 еженедельная прибыль, получаемая от продажи полок модели А;
4x2 еженедельная прибыль, получаемая от продажи полок модели В;
F = 2x1+4x2 еженедельная прибыль, которая должна быть максимальной. Таким образом, имеем следующую математическую модель для данной задачи.
F = 2x1+4x2 max
Полученная модель является задачей линейного программирования. Функция F это целевая функция, она является линейной функцией своих переменных (x1 и x2). Ограничения на эти переменные (1) и (2) тоже являются линейными. Выполнено условие неотрицательности для переменных x1 и x2.
Необходимо найти значения переменных x1 и x2, при которых данная функция F принимает максимальное значение, при соблюдении ограничений, накладываемых на эти переменные.
Решения, удовлетворяющие системе ограничений и требованию неотрицательности, являются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованием минимизации (максимизации) функции в целом являются оптимальными.
3.1.2. Варианты задач для самостоятельного решения
№1
Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции. Время производства одного изделия приведены в таблице.
Таблица 1
Технологические операции Виды изделий
А В С
С1 1 3 1
С2 2 4
С3 1 2
Фонд рабочего времени ограничен следующими предельными значениями: для первой операции 430 мин; для второй операции - 460 мин; для третьей операции 420 мин. изучение рынка сбыта показала, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3,2 и 5 руб. соответственно. Постройте математическую модель, позволяющую найти наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?
№2
При изготовлении изделий А и В используются сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство единицы изделия А требуется 300 и 200 станко-часов соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также 10 и 20 кг соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия В требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов.
Цех располагает 12400 и 6800 станко-часами соответственно токарного и фрезерного оборудования и 640 и 840 кг соответственно стали и цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия А составляет 6 руб. и от единицы изделия В 16 руб.
Постройте математическую модель задачи, используя в качестве показателя эффективности прибыль.
№3
Для изготовления трех видов изделий А, В, С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.
Таблица 2
Тип оборудования Нормы затрат сырья (кг) на единицу продукции Общее количество сырья (кг)
А В С
Фрезерное
Токарное
Сварочное
шлифовальное 2
1
7
4 4
8
4
6 5
6
5
7 120
280
240
360
прибыль (руб.) 10 14 12
Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель.
№4
Продукцией молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1т сметаны заняты специальные автоматы в течние 3.,25ч. всего для призводства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны- в течение 16,25ч. прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равны 30, 22 и 136 руб. завод долджен ежедневно производить не менее 100т молока, расфасованного в бутылки. Напроизводство другой продукции не имеется никаких ограничений.
Требуется определить, какую рподукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель.
№5
В трех пунктах отправления сосоредоточен однородный груз в количествах, соответственно равных 420, 380 и 400 т. этот груз необходимо перевезти в три пункта назначения в количествах. Соответственно равных 260, 520 и 420 т. стоимость перевоза 1 т. груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения являются известными величинами и задаются матрицей.
Найти план перевозок,обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пунктах назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок.
Владислав спасибо за помощь в решении задач.
Не бойтесь,обращайтесь к нему .Советую.
Создать такое же